最大正方形

题目描述：

在一个由 ‘0’ 和 ‘1’ 组成的二维矩阵内，找到只包含 ‘1’ 的最大正方形，并返回其面积。

示例 1：

输入：matrix = [[“1”,”0”,”1”,”0”,”0”],[“1”,”0”,”1”,”1”,”1”],[“1”,”1”,”1”,”1”,”1”],[“1”,”0”,”0”,”1”,”0”]]
输出：4
示例 2：

输入：matrix = [[“0”,”1”],[“1”,”0”]]
输出：1
示例 3：

输入：matrix = [[“0”]]
输出：0

思路:

可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 表示以 (i, j)(i,j) 为右下角，且只包含 11 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值，那么其中的最大值即为矩阵中只包含 11 的正方形的边长最大值，其平方即为最大正方形的面积。

那么如何计算 \textit{dp}dp 中的每个元素值呢？对于每个位置 (i, j)(i,j)，检查在矩阵中该位置的值：

如果该位置的值是 00，则 \textit{dp}(i, j) = 0dp(i,j)=0，因为当前位置不可能在由 11 组成的正方形中；

如果该位置的值是 11，则 \textit{dp}(i, j)dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 \textit{dp}dp 值决定。具体而言，当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 11，状态转移方程如下：

dp(i, j)=min(dp(i−1, j), dp(i−1, j−1), dp(i, j−1))+1
dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1

如果读者对这个状态转移方程感到不解，可以参考 1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵的官方题解，其中给出了详细的证明。

此外，还需要考虑边界条件。如果 ii 和 jj 中至少有一个为 00，则以位置 (i, j)(i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 11，因此 \textit{dp}(i, j) = 1dp(i,j)=1。

代码:

func min1(a int,b int,c int)int {
    var min int
    if a<b{
        min=a
    }else{
        min=b
    }
    if min>c{
        min=c
    }
    return min
}
func maximalSquare(matrix [][]byte) int {
    if matrix==nil{
        return 0
    }
    var max int =0
    row:=len(matrix)
    line:=len(matrix[0])
    var arr[301][301]int
    for i:=0;i<row;i++{
        for j:=0;j<line;j++{
            if matrix[i][j]=='1'{
                arr[i][j]=1
                if i-1>=0&&j-1>=0{
                    if arr[i-1][j]>=1&&arr[i][j-1]>=1&&arr[i-1][j-1]>=1{
                        arr[i][j]=min1(arr[i-1][j],arr[i][j-1],arr[i-1][j-1])+1
                    }
                }
                if max <arr[i][j]{
                    max=arr[i][j]
                }
            }
        }
    }
    return max*max
}

代码效率：

执行用时：4 ms, 在所有 Go 提交中击败了73.93%的用户
内存消耗：3.9 MB, 在所有 Go 提交中击败了81.35%的用户